X математическая олимпиада «Шелковый путь», 2011 год


Задача №1.  Определите наименьшее возможное значение $|A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4 \cup A_5|$, где $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ множества, одновременно удовлетоворяющие следующим условиям:
(i) $|A_i \cap A_j|= 1$ для всех $1 \le i < j \le 5$, т.е. любые два различных множества содержат ровно один общий элемент;
(ii) $A_i \cap A_j \cap A_k \cap A_l = \emptyset$ для всех $1 \le i < j < k < l \le 5$, т.е. любые четыре различных множества не содержат общего элемента.
Здесь $|S|$ означает количество элементов множества $S$.
комментарий/решение
Задача №2.  Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с тупым углом $C$. Точка $K$ взята на продолжении стороны $AC$ (за точку $C$) так, что $\angle KBC = \angle ABC$. Обозначим через $S$ точку пересечения биссектрис углов $\angle BKC$ и $\angle ACB$. Прямые $AB$ и $KS$ пересекаются в точке $L$, прямые $BS$ и $CL$ — в точке $M$. Докажите, что прямая $KM$ проходит через середину отрезка $BC$.
комментарий/решение
Задача №3.  Определите наименьшее действительное число $M$ такое, что неравенство $$\left( \dfrac{1}{(a+b)^2} + \dfrac{1}{(b+c)^2} + \dfrac{1}{(c+a)^2}\right) (a-bc)(b-ca)(c-ab) \le M \cdot abc$$ выполнено для всех положительных действительных чисел $a,b,c$, удовлетворяющих равенству $a+b+c = 1$.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Докажите, что существует бесконечно много простых чисел, представимых в виде $m^2 + mn + n^2$ для некоторых целых чисел $m,n$.
комментарий/решение(5)
результаты