қазақша
русский8-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2008 жыл
Есеп №1. Натурал $a,b,c,d$ сандары мынадай: $d$ саны ${{a}^{2b}}+c$ санын қалдықсыз бөледі және $d\ge a+c$. Онда $d\ge a+\sqrt[2b]{a}$ екенін дәлелде.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. ${{A}_{0}}$, ${{B}_{0}}$, ${{C}_{0}}$ нүктелері — $ABC$ үшбұрышының сәйкесінше $BC$, $CA$, $AB$ қабырғаларының ортасы, ал ${{A}_{1}}$, ${{B}_{1}}$, ${{C}_{1}}$ нүктелері — сәйкесінше $BAC$, $CBA$, $BCA$ қисықтарының (ұзындық бойынша) ортасы. Онда ${{A}_{0}}{{A}_{1}}$, ${{B}_{0}}{{B}_{1}}$, ${{C}_{0}}{{C}_{1}}$ түзулерінің бір нүктеде қиылысатынын дәлелде.
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $2n$ төбесі және ${2n(n-1)}$ қабырғасы бар (ориентацияланбаған, тұзақсыз) граф берілген. Әрбір қызыл төбеден дәл $n$ қызыл қабырға шығатындай етіп осы графтың кейбір төбелері мен қабырғаларын қызыл түске бояуға болатынын дәлелдеңдер.
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Мынадай шартты қанағаттандыратын барлық коэффициенттері нақты $P(x)$ көпмүшеліктерді анықта: әрбір рационал $r$ саны үшін $P(x)=r$ теңдеуінің рационал шешімі табылады.
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)