7-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2007 жыл

Есеп №1.  Тақтаға $2$, $3$, $5$, $\ldots$, $2003$ сандары, яғни ${[2; 2007]}$ аралығындағы барлық жай сандар жазылған. Біз $a,b$ сандарын $\sqrt{{{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}}$ санынан аспайтын жай санмен ауыстыруды сирету амалы деп атаймыз. Алдымен оқушы $q$ санын өшіреді, мұнда $2 < q < 2003$; сонан соң бір сан қалғанға шейін сирету амалын қалған сандарға бірнеше рет қолданады. Соңында шыққан санның ең үлкен мүмкін мәнін және ең кіші мүмкін мәнін тап. Бұл мәндер алғаш өшірілген $q$ санына қалай тәуелді? ( Е. Байсалов )
комментарий/решение

---

Есеп №2. $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған $\omega $ шеңбері $BC$ қабырғасын $K$ нүктесінде жанайды. $B$ мен $C$ нүктелері арқылы өтетін және $\omega $ шеңберін $S$ нүктесінде жанайтын шеңбер жүргізейік. $SK$ түзуі $ABC$ үшбұрышына сыртта іштей сызылған және $BC$ қабырғасын жанайтын шеңбердің центрі арқылы өтетінін дәлелде. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение

---

Есеп №3. Кез келген оң нақты $a,b,c$ сандары үшін ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc\ge M(|a-b{{|}^{3}}+|b-c{{|}^{3}}+|c-a{{|}^{3}})$ теңсіздігі орындалатындай нақты $M$ санының ең үлкен мәнін тап. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. Егер кез келген әртүрлі $i,j,k\in \{1,2,\ldots,n\}$ үшін $\frac{2}{3}{{f}_{i}}+{{f}_{j}}+{{f}_{k}}$ көпмүшелігінің нақты түбірлері жоқ болып, ал кез келген әртүрлі $p,q,r,s\in \{1,2,\ldots,n\}$ үшін ${{f}_{p}}+{{f}_{q}}+{{f}_{r}}+{{f}_{s}}$ көпмүшелігінің нақты түбірлері табылса, онда коэффициенттері нақты ${{f}_{1}},{{f}_{2}},\ldots,{{f}_{n}}$ көпмүшеліктер жиынын ерекше дейміз.
1) Қосындысы нөлдік көпмүшелік болмайтын төрт көпмүшеліктен тұратын ерекше жиынға мысал келтір.
2) Бес көпмүшеліктен тұратын ерекше жиын табыла ма? ( Е. Байсалов )
комментарий/решение

---