6-шы «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2006 жыл

Есеп №1. Кез-келген $x, y \in \mathbb{R}$ үшін $f(x^2 + xy + f(y)) = (f(x))^2 + xf(y) + y$ теңдігін қанағаттандыратын барлық $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ функцияларын табыңыз. ( К. Жубаев )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2.  $abc = 1$ теңдігін қанағаттандыратын оң нақты $a$, $b$ және $c$ сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: $$4 \left( \sqrt[3]{\dfrac{a}{b}} + \sqrt[3]{\dfrac{b}{c}} + \sqrt[3]{\dfrac{c}{a}}\right) \le 3 \left( 2 + a + b + c + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\right)^{2/3}.$$ ( К. Жубаев )
комментарий/решение(2)

---

Есеп №3. $p$ саны $12n + 11$ түріндегі жай сан. $M = \{ 1, 2, \ldots, p-1\}$ жиынының $S$ ішкі жиынын мәнді деп атайық, егер сол ішкі жиынның барлық $\Pi_s$ элементтер көбейтіндісі, $M$-нің барлық қалған $\overline{\Pi}_s$ элементтер көбейтіндісінен кіші болса. Сонымен қатар $\Delta_s = \Pi_s - \overline{\Pi}_s$ айырмасы $S$ ішкі жиынының ауытқуы деп аталады. $\frac{p-1}{2}$ элементтен тұратын мәнді ішкі жиынның ауытқуын $p$-ға бөлгендегі мүмкін қалдықтардың ең кішісін табыңыз. ( Е. Байсалов )
комментарий/решение

---

Есеп №4. Жазықтықта орналасуы жалпы болатын, яғни кез-келген екі түзу өзара параллель емес және ешқандай үш түзу бір нүкте арқылы өтпейтін $2006$ түзуден құралған $L$ жиыны берілген. Егер $l_1 \in L$ түзуі басқа $l_2 \in L$ түзуін шектейді деп атаймыз, егер $l_2$ түзуінің $L$ жиынының қалған түзулермен қиылысу нүктелері $l_1$-дің бір жағында жатса. Бір уақытта келесі екі шарттарды қанағаттандыратын $L$ жиынының $l$ және $l'$ түзулерінің табылатынын дәлелдеңіздер:
1) $l$ түзуі $l'$ түзуін шектейді;
2) $l'$ түзуі $l$ түзуін шектемейді.
комментарий/решение

---