IV математическая олимпиада «Шелковый путь», 2005 год

Задача №1.  Пусть натуральное число $n \ge 2$. Докажите, что $(1^{n-1} + 2^{n-1} + \ldots + (n-1)^{n-1}) + 1 \text{ делится на } n$ тогда и только тогда, когда для каждого простого делителя $p$ числа $n$ $\dfrac{n}{p}-1 \text{ делится на $p$ и $\dfrac{n}{p}-1$ делится на $p - 1$}.$
комментарий/решение

---

Задача №2. Найдите все пары натуральных чисел $(m, n)$, при которых возможно раскрасить каждую клетку клетчатой доски размера $m \times n$ в белый или черный цвета так, чтобы для любой клетки доски количество соседних клеток одинакового цвета с ней было нечетным. Две клетки называются $\textit{соседними}$, если они различные и имеют хотя бы одну общую вершину.
комментарий/решение

---

Задача №3.  $A, B, C$ — три точки, лежащие на одной прямой, причем $B$ лежит между $A$ и $C$. Пусть $AA'$ и $BB'$ — параллельные прямые такие, что $A'$ и $B'$ лежат по одну сторону от прямой $AB$, точки $A',B'$ и $C$ не лежат на одной прямой. Через $O_1$ обозначим центр окружности, проходящей через точки $A,A',C$, а через $O_2$ — центр окружности, проходящей через точки $B,B',C$. Определите всевозможные значения угла $CAA'$, если площади треугольников $A'CB'$ и $O_1CO_2$ равны.
комментарий/решение

---

Задача №4.  Пусть бесконечная последовательность $a(1), a(2), \ldots$ определена следующим образом: $a(1) = a(2) = 1$ и $$a(n) = a(a(n - 1)) + a(n - a(n - 1)) \text{ при } n \ge 3.$$ Докажите, что $a(2n) \le 2a(n)$ при всех $n \ge 1$.
комментарий/решение

---