5-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2005 жыл

Есеп №1.  Бүтін $n \geq 2$ саны үшін дәлелдеңіз: $({{1}^{n-1}}+{{2}^{n-1}}+\ldots +{{(n-1)}^{n-1}})+1$ саны $n$-ға қалдықсыз бөлінуі үшін $n$-нің әрбір жай $p$ бөлгіші үшін $p$ санының $\dfrac{n}{p}-1$ санын бөлуі және ${p - 1}$ санының $\dfrac{n}{p}-1$ санын бөлуі қажет және жеткілікті.
комментарий/решение

---

Есеп №2.  Мынадай барлық $(m, n)$ натурал сандар парларын табыңыз: өлшемі $m \times n$ болатын шахмат тақтасының әрбір бірлік шаршысын, онымен көршілес және түстес бірлік шаршылардың саны тақ сан болатындай етіп, ақ немесе қара түске бояуға болады. Әртүрлі екі бірлік шаршының ең кемінде бір ортақ төбесі бар болса, оларды көрші дейміз.
комментарий/решение

---

Есеп №3. Бір түзудің бойынан $A$, $B$ және $C$ нүктелері $B$ $A$ мен $C$ арасында жататындай алынған. $AA'$ және $BB'$ өзара параллель түзулер, ал $A'$ пен $B'$ нүктелері $AB$ түзуінің бір жағында жататын және $A'$, $B'$, $C$ нүктелері бір түзудің бойында жатпайтындай болсын. $AA'C$ үшбұрышна сырттай сызылған шеңбер центрі $O_1$, ал $BB'C$ үшбұрышна сырттай сызылған шеңбер центрі $O_2$ болсын. Егер $A'CB'$ және $O_1CO_2$ үшбұрыштарының аудандары тең болса, онда $CAA'$ бұрышының барлық мүмкін мәнін анықтаңыз.
комментарий/решение

---

Есеп №4. Шексіз $a(1), a(2), \ldots $ тізбегі былайша анықталған: $a(1) = a(2) = 1$, ал $n \geq 3$ үшін $a(n) = a(a(n - 1)) + a(n - a(n - 1))$ Онда кез келген $n \geq 1$ үшін $a(2n) \geq 2a(n)$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение

---