III математическая олимпиада «Шелковый путь», 2004 год


Задача №1.  Найдите все функции $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, удовлетворяющие условию $(x+y)(f(x) - f(y)) = (x - y)f(x + y)$ при всех действительных $x$ и $y$.
комментарий/решение
Задача №2.  Найдите все простые числа $p$, для которых существуют целые числа $m$ и $n$, удовлетворяющие условиям $p = m^2 + n^2$ и $p\ |\ m^3 + n^3 - 4$.
комментарий/решение
Задача №3.  Вписанная окружность $\Delta ABC$ с центром в точке $I$ касается сторон $AB$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$, соответственно. $BI$ и $CI$ пересекают $PQ$ в точках $K$ и $L$, соответственно. Докажите, что описанная окружность $\Delta ILK$ касается вписанной окружности $\Delta ABC$ тогда и только тогда, когда $AB + AC = 3 BC$.
комментарий/решение
Задача №4.  Пусть дано целое число $n \ge 2$. Группа людей называется $\textit{$n$-компактной}$, если для любого человека из группы можно найти отличных от него $n$ людей, знакомых друг с другом. Найдите максимально возможное значение $N$ такое, что любая $n$-компактная группа из $N$ людей содержит подгруппу из $n + 1$ людей, знакомых друг с другом.
комментарий/решение
результаты