II математическая олимпиада «Шелковый путь», 2003 год


Задача №1.  Пусть $a_1, a_2, \ldots, a_{2003}$ является последовательностью действительных чисел. Элемент $a_k$, $1 \le k \le 2003$, назовем $\textit{ведущим}$ элементом, если хотя бы одно из выражений $a_k, a_k + a_{k+1}, \ldots, a_k + a_{k+1} + \ldots + a_{2003}$ является положительным. Докажите, сумма всех ведущих элементов последовательности является положительной, если последовательность имеет хотя бы один ведущий элемент.
комментарий/решение
Задача №2.  Пусть $s = (AB + BC + AC)/2$ является полупериметром треугольника $ABC$. Выберем две точки $L$ и $N$, лежащие на лучах $AB$ и $CB$ соответственно, при этом удовлетворяющих условию $AL = CN = s$. Пусть точка $K$ является симметричной точке $B$ относительно центра описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки $K$ на прямую $NL$, проходит через центр вписанной окружности треугольника $ABC$.
комментарий/решение
Задача №3.  Пусть $0 < a < b < 1$ являются действительными числами и $$ g(x)= \begin{cases} x+1-a, & \text{если $0 < x < a$,}\\ b-a, & \text{если $x=a$,}\\ x-a, & \text{если $a < x < b$,}\\ 1-a, & \text{если $x=b$,}\\ x-a, & \text{если $b < x < 1$.} \end{cases} $$ Положим, что для некоторого натурального числа $n$ найдутся $n + 1$ действительных чисел $0 < x_0 < x_1 < \ldots < x_n < 1$ таких, что $g^n(x_i)=x_i$ для $0 \le i \le n$. Докажите, что существует натуральное число $N$ такое, что $g^N(x)=x$ для всех $0 < x < 1$. (Обозначение: $g^k(x) = \underbrace{g(g(\ldots(g}_{k \text{ раз}}(x))\ldots))$).
комментарий/решение
Задача №4.  Найдите сумму $\sum_{k \in A}\dfrac{1}{k-1}$ если $A = \{ m^n : m,n \in \mathbb{Z}, m,n \ge 2\}$.
комментарий/решение
результаты