Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2008-2009 учебный год, II тур регионального этапа


Задача №1.  На столе лежат 7 карточек с цифрами от 0 до 6. Двое по очереди берут по одной карточке. Выигрывает тот, кто впервые из своих карточек сможет составить натуральное число, делящееся на 17. Кто выиграет при правильной игре — начинающий или его противник? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  В трех клетках клетчатого листа записаны числа, а остальные клетки пусты. Разрешается выбрать два числа из разных непустых клеток и записать в пустую клетку их сумму; также можно выбрать числа $a$, $b$, $c$ из трех разных непустых клеток и записать в пустую клетку число $ab+c^2$. Докажите, что при помощи нескольких таких операций можно записать в одну из клеток квадрат суммы трех исходных чисел (какими бы они ни были).
комментарий/решение(1)
Задача №3.  В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ некоторая точка диагонали $AC$ принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам $AB$ и $CD$, а некоторая точка диагонали $BD$ принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам $AD$ и $BC$. Докажите, что $ABCD$ — прямоугольник.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  В футбольном турнире участвовало 8 команд, причем каждая сыграла с каждой ровно по одному разу Известно, что любые две команды, сыгравшие между собой вничью, набрали в итоге разное число очков. Найдите наибольшее возможное общее число ничьих в этом турнире. (За выигрыш матча команде начисляется 3 очка, за ничью — 1, за поражение — 0.) ( С. Токарев )
комментарий/решение(1)