Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2008-2009 учебный год, IV тур дистанционного этапа

Задача №1.  Длину прямоугольника уменьшили на $10 \%$, а ширину уменьшили на $20 \%$. При этом периметр прямоугольника уменьшился на $12 \%$. На сколько процентов уменьшится периметр прямоугольника, если его длину уменьшить на $20 \%$, а ширину уменьшить на $10 \%$?
комментарий/решение(2)

---

Задача №2.  В каждой клетке квадрата $3 \times 3$ записано натуральное число. При этом все числа попарно различны и отличны от единицы. Известно, что число, записанное в каждой из клеток, является делителем произведения всех чисел, стоящих в клетках, соседних с ней по стороне. Найдите наибольшее возможное значение количества простых чисел среди выписанных.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3. Могут ли расстояния от точки плоскости до вершин некоторого квадрата быть равными 1, 1, 2 и 3?
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  В кофейне встретились 55 индийцев и турок, каждый из которых пил чай либо кофе. Все индийцы говорят правду, когда пьют чай и обманывают, когда пьют кофе, а все турки — наоборот. На вопрос "Вы пьете кофе?" ответили "да" 44 человека, на вопрос "Вы турок?" — 33 человека, а с утверждением "На улице идет дождь" согласилось 22 человека. Сколько индийцев в кофейне пьют чай?
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Каждая из сторон треугольника разбита на 2008 равных частей. Через каждую точку деления проведены прямые, параллельные двум другим сторонам, в результате чего треугольник разбился на равные треугольные поля. Строкой будем называть ряд полей, заключенных между двумя соседними параллельными прямыми, либо единственное поле, стоящее при вершине треугольника. Петя и Вася ставят по очереди в одно из свободных полей $1$ либо $-1$. После того, как все клетки оказываются занятыми, в каждой из строк подсчитывается произведение. Петя выигрывает, если отрицательных произведений четное число, иначе выигрывает Вася. Кто выиграет при правильной игре, если первым ходит Петя?
комментарий/решение(1)

---