Республиканская олимпиада по математике, 2012 год, 11 класс


Задача №1.  Число $1\underbrace{33 \ldots3}_{k - \text{раз}}$ — простое, $k > 1$. Докажите, что $k^2-2k+3$ кратно 6. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Назовем таблицу $6\times 6$, состоящую из нулей и единиц, правильной, если сумма чисел в каждой строке и каждом столбце равна 3. Две правильные таблицы называются подобными, если одну можно получить из другой с помощью последовательных перестановок строк и столбцов. Найдите наибольшее количество попарно не подобных друг другу правильных таблиц.
комментарий/решение
Задача №3.  Прямая $PQ$ касается вписанной в треугольник $ABC$ окружность таким образом, что точки $P$ и $Q$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$, соответственно. На сторонах $AB$ и $AC$ выбраны точки $M$ и $N$, соответственно, так, что $AM=BP$ и $AN=CQ$. Докажите, что все построенные таким образом прямые $MN$ проходят через одну точку. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)
Задача №4. Функция $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ удовлетворяет соотношению $f(xf(y))=yf(x)$ для любых вещественных $x, y$. Докажите, что эта функция нечетна (т.е. $f(-z)=-f(z)$ для любого вещественного $z$).
комментарий/решение(1)
Задача №5. Даны лучи $OP$ и $OQ$. Внутри меньшего угла $POQ$ выбраны точки $M$ и $N$, такие что $\angle POM =\angle QON$ и $\angle POM < \angle PON$. Окружность, которая касается лучей $OP$ и $ON$, пересекает вторую окружность, которая касается лучей $OM$ и $OQ$, в точках $B$ и $C$. Доказать что $\angle POC = \angle QOB$.
комментарий/решение(1)
Задача №6. Рассмотрим уравнение $ax^2+by^2=1$, где $a$, $b$ — фиксированные положительные рациональные числа.
а) Приведите пример такого уравнения, не имеющего решения в рациональных числах $x, y$.
б) Приведите пример такого уравнения, имеющего бесконечно много решений в рациональных числах $x, y$.
в) Докажите, что любое такое уравнения либо не имеет решений в рациональных числах, либо имеет бесконечно много таких решений.
комментарий/решение(2)
результаты