Республиканская олимпиада по математике, 2010 год, 9 класс

Задача №1.  Окружность $\omega$ проходит через вершину $B$, касается стороны $AC$ в точке $D$ и пересекает стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ в точках $P$ и $Q$, соответственно. Прямая $PQ$ пересекает $BD$ в точке $M$, а $AC$ — в точке $N$. Докажите, что $\omega$, окружность, описанная около треугольника $DMN$, и окружность, касающаяся $PQ$ в точке $M$ и проходящая через $B$, пересекаются в одной точке. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2)

---

Задача №2. Ровно $4n$ чисел из множества целых чисел $A=\{1, 2, \ldots, 6n\}$ покрашены в красный цвет, а остальные — в синий. Докажите, что найдется $3n$ последовательных целых чисел из множества $A$, из которых ровно $2n$ окрашены в красный цвет (а остальные $n$ чисел окрашены в синий).
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Дано положительное действительное число $A$. Найдите наибольшее возможное значение действительного числа $M$, для которого выполнено неравенство $$\displaylines{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{A}{x+y}\geq\frac{M}{\sqrt{xy}} }$$ для любых положительных действительных чисел $x, y$. ( А. Васильев )
комментарий/решение(4)

---

Задача №4. Пусть $x$ — наименьшее из решений уравнения $x^2-4x+2=0$. Чему равны первые две цифры после запятой в десятичной записи числа $x+x^2+ \ldots+x^{20}$?
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  В треугольнике $ABC$ ($AB < BC$) точка $I$ — центр вписанной окружности, $M$ — середина стороны $AC$, $N$ — середина дуги $ABC$ описанной окружности. Докажите, что $\angle IMA = \angle INB$.
комментарий/решение(5)

---

Задача №6.  Числа 1, 2, $\ldots,$ 2010 расположены в ряд в произвольном порядке. Рассмотрим ряд, полученный следующим образом: к каждому числу прибавляется номер его места в ряду. Докажите, что если в полученном ряду нет одинаковых чисел, то в нем найдутся два числа, разность которых равна 2010.
комментарий/решение(1)

---