Республиканская олимпиада по математике, 2005 год, 11 класс


Задача №1.  При каких нижеперечисленных значениях $A$, $B$, $C$ система уравнений $$ \left\{ \begin{array}{rcl} (x - y)(z - t)(z - x)(z - t)^2 = A, \\ (y - z)(t - x)(t - y)(x - z)^2 = B,\\ (x - z)(y - t)(z - t)(y - z)^2 = C,\\ \end{array} \right. $$ имеет решение в вещественных числах, и при каких нет?
а) $A=2$, $B=8$, $C=6$; б) $A=2$, $B=6$, $C=8$.
комментарий/решение
Задача №2.  Докажите неравенство $ab + bc + ac \geq 2(a + b + c)$ для положительных действительных чисел $a$, $b$, $c$ если известно, что $a + b + c + 2 = abc$. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)
Задача №3. Множество точек на плоскости считается $\it{хорошей}$, если любые три точки имеют ось симметрии, т.е. либо лежат на одной прямой, либо являются вершинами равнобедренного или равностороннего треугольника. Опишите
а) все 6-элементные хорошие множества;
б) все 7-элементные хорошие множества.
комментарий/решение
Задача №4.  Функция $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, где $\mathbb{R}$ — поле вещественных чисел, удовлетворяет тождеству $f(f(x)+x+y)=2x+f(y)$ для любых $x,y\in \mathbb{R}$. ( Д. Елиусизов, Е. Байсалов )
комментарий/решение
Задача №5.  Решить уравнение $2^{\tfrac{1}{2}-2|x|} = \left| {{\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} x + \frac{1}{2}} \right| + \left| {{\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} x - \frac{1}{2}} \right|$.
комментарий/решение
Задача №6.  Прямая, параллельная стороне $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ $(\angle C=90^\circ)$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно, так, что $CN/BN=AC/BC=2$. Пусть $O$ — точка пересечения отрезков $AN$ и $CM$, а точка $K$ лежит на отрезке $ON$ так, что $MO+OK=KN$. Перпендикуляр к отрезку $AN$ в точке $K$ и биссектриса угла $B$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $T$. Найдите угол $\angle MTB$.
комментарий/решение
Задача №7. В каждую единичную клетку таблицы $2005 \times 2005$ вписано одно число из множества $\{-1,0,1\}$ так, что сумма всех вписанных чисел равна 0. Докажите, что найдутся две строки и два столбца этой таблицы такие, что сумма четырех чисел, написанных на пересечении этих строк и столбцов, равна 0.
комментарий/решение
Задача №8.  Найдите все многочлены $P(x)$ с действительными коэффициентами, удовлетворяющие следующему условию: для каждого натурального числа $n$ существует рациональное число $r$ такое, что $P(r)=n$.
комментарий/решение