Республиканская олимпиада по математике, 2004 год, 10 класс


Задача №1.  Пусть $a_1 = 1$; $a_2 = 2$ и $a_{n + 1} = \frac{{a_n a_{n - 1} + 1}}{{a_{n - 1} }}$ для $n=2, 3,\dots$. Докажите, что $a_n > \sqrt {2n} $ для $n\geq3$.
комментарий/решение
Задача №2.  Определите все целые числа $m, n \geq 2$ такие, что $1+m^{3^n}+m^{2\cdot 3^n}$ делится на $n$.
комментарий/решение(1)
Задача №3. $\it{Зигзагом}$ назовем ломаную на плоскости, образованную из двух параллельных лучей и отрезка, соединяющего начала этих лучей. На какое максимальное число частей может быть разбита плоскость с помощью $n$ зигзагов?
комментарий/решение
Задача №4. Пусть $n$ — фиксированное натуральное число. Найдите количество всех последовательностей $(a_1 ,a_2 , \ldots ,a_{2n} )$, где $a_i = \pm 1$ для любого $1 \leq i \leq 2n$, удовлетворяющих условию: для любых $1 \leq k \leq l \leq n$ верно $$ \left|{\sum\limits_{i = 2k - 1}^{2l} {a_i } }\right|\leq 2. $$
комментарий/решение
Задача №5. В треугольнике $ABC$ сторона $BC$ наименьшая. На лучах $BA$ и $CA$ отложены отрезки $BD$ и $CE$ равные $BC$. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника $ADE$ равен $\sqrt {R^2 - 2Rr} $ (где $R$ и $r$ — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника $ABC$).
комментарий/решение
Задача №6.  Пусть ${{p}_{1}}$, ${{p}_{2}}$, $\ldots $, ${{p}_{n}}$ — различные простые числа, большие 3. Докажите, что число ${{2}^{{{p}_{1}}{{p}_{2}}\ldots {{p}_{n}}}}+1$ имеет не менее ${{4}^{n}}$ делителей.
комментарий/решение
Задача №7.  Пусть $P(x)$ многочлен с действительными коэффициентами такой, что $P(x) > 0$ для всех $x\geq 0$. Докажите, что существует положительное целое число $n$ такое, что $(1 + x)^n P(x)$ многочлен с неотрицательными коэффициентами.
комментарий/решение
Задача №8.  Вещественные числа $a, b, c$ таковы, что числа $\dfrac{{1 + bc}}{{b - c}}$, $\dfrac{{1 + ac}}{{c - a}}$ и $\dfrac{{1 + ab}} {{b - a}}$ целые. Докажите, что тогда они попарно взаимно просты.
комментарий/решение