Республиканская олимпиада по математике, 2002 год, 10 класс


Задача №1.  Назовем фигуру $\it{крестиком}$, если она получается удалением угловых клеток из таблицы $3 \times 3$. Какое наибольшее число крестиков можно без наложений расположить на квадратной доске $8 \times 8$?
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Докажите, что для любых действительных чисел $x_1, x_2,. . . , x_{n}$ справедливо неравенство: $$ \displaylines{\frac{x_1}{1+{x_1}^{2}}+\frac{x_2}{1+{x_1}^{2} +{x_2}^{2}}+. . . +\frac{x_n}{1+{x_1}^2+. . . {x_n}^2} < \sqrt n.} $$
комментарий/решение
Задача №3. Найдите наименьшее число $c$, удовлетворяющее следующему свойству: на сторонах любого треугольника с периметром 1 можно найти две точки, делящие периметр пополам и отстоящие друг от друга на расстоянии не больше $c$.
комментарий/решение
Задача №4.  Докажите, что существует множество $A$ состоящее из 2002 различных натуральных чисел, удовлетворяющее условию: для каждого $a\in A$ произведение всех чисел из $A$, кроме $a$, при делении на $a$ дает остаток 1.
комментарий/решение
Задача №5.  Найти все функции $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ,$ для которых при любых вещественных $x$ и $y$ справедливо равенство $f(x^2+f(y))=(x-y)^2 \cdot f(x+y). $
комментарий/решение(1)
Задача №6.  На плоскости дан остроугольный треугольник $ABC$. Пусть $A_1$ и $B_1$ — основания высот опущенных из вершин $A$ и $B$ соответственно. Касательные в точках $A_1$ и $B_1$, проведенные к окружности описанной около треугольника $CA_1B_1$ пересекаются в точке $M$. Докажите, что окружности, описанные около треугольников $AMB_1$, $BMA_1$ и $CA_1B_1$ имеют общую точку.
комментарий/решение
Задача №7.  Пусть $a$, $b$, $c$, $a+b-c$, $a+c-b$, $b+c-a$, $a+b+c$ — различные простые числа такие, что сумма двух чисел из ${a, b, c}$ равна 800. Обозначим через $d$ разность между наибольшим и наименьшим этих семи чисел. Найдите максимально возможное значение $d$.
комментарий/решение
Задача №8.  В ряд выстроены $n$ кузнечиков. В любой момент разрешается одному кузнечику перепрыгнуть ровно через двух кузнечиков стоящих справа или слева от него. При каких $n$ кузнечики могут перестроиться в обратном порядке? ( А. Кунгожин )
комментарий/решение