қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2024 год, 9 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Найдите все тройки простых чисел $(p,q,r)$ такие, что $p-q+r=\sqrt{p+q+r}$.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(11)
комментарий/решение(11)
Задача №2. Пусть $S$ — множество, состоящее из $n\ge 3$ точек на плоскости, не все из которых лежат на одной прямой. Рассмотрим все отрезки с концами из $S$, на которых не лежат другие точки из $S$. Оказалось, что все такие отрезки имеют равные длины. Найдите все возможные значения $n$.
(
Э. Кусдавлетов
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №3. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ выбрана точка $D$ так, что $AB\cdot AD=CB\cdot CD$. Точка $M$ — середина отрезка $BD$. Докажите, что если $\angle AMC=90^\circ$, то $\angle CAM+\angle BCM=\angle ACM+\angle BAM$.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Остроугольный треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром $O$. На стороне $BC$ взята точка $K$, из которой опущены перпендикуляры $KF$ и $KG$ на стороны $AB$ и $AC$, соответственно. Прямая $AO$ пересекает прямые $KG$ и $KF$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Докажите, что $BD\parallel CE$.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №5. Какие положительные рациональные числа можно представить в виде $\dfrac{x^{20} y^{23}}{z^{2024}},$ где $x,y,z$ — натуральные числа?
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №6. Даны положительные действительные числа $a,b,c$ такие, что $abc=1$. Докажите, что \[\left(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\right)+2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+(a+b+c) \ge 4(ab+bc+ca).\]
(
Зауытхан А.
)
комментарий/решение(7)
комментарий/решение(7)