қазақша
русскийГородская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы
Задача №1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 23(1 - \sin x)^{20} + 20(1 + \sin x)^{23}.$
комментарий/решение(12)
комментарий/решение(12)
Задача №2. Даны простые числа $p, q$ и $r$. Известно, что число $(qr - 1)$ делится на $p$ число $(rp - 1)$ делится на $q$ а число $(pq - 1)$ делитcя на $r$. Найдите значение $pqr$.
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Задача №3. Дано множество $S= \{1, 2, \ldots, 2024\}$. Компьютер случайным образом создал $2023^2+1$ непустых подмножеств множества $S$ в каждом из которых по меньшей мере 2 элемента. Докажите, что среди построенных компьютером подмножеств можно найти два подмножества с равным количеством элементов, у которых по меньшей мере два элемента общих.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Внутри выпуклого четырёхугольника $ABCD$ выбрана точка $G$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$. Оказалось, что $G \in [BD]$, $\angle DCG = \angle BAC$. Из точки $D$ опустили перпендикуляр $DE$ на отрезок $CG$. Докажите, что $\frac{CG}{DE} \ge \frac{2\sqrt 3}{3}.$
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)