қазақша
русский6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур
Задача №1. При каком наибольшем натуральном $n$, число ${{n}^{3}}+2023$ кратно $n+1$?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Найдите все натуральные числа $n$ и $x$ такие, что $\underbrace {11 \ldots 1}_{n-\text{раз}}\underbrace {44 \ldots 4}_{2n-\text{раз}} = {x^2}$?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Суммарная длина трех шагов отца равна суммарной длине пяти шагов сына. Когда отец за какой-то промежуток времени делает 6 шагов, то сын за это же время успевает сделать 7 шагов. После того, как сын вышел из дома и сделал 30 шагов, вслед за ним за ним вышел отец. Сколько шагов должен сделать отец, чтобы догнать сына?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Найдите наименьшее число, которое является квадратом, запись которого начинается с 11 и заканчивается на 89.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Для действительных чисел $x,y$ выполнены равенства $x^2+xy+y^2=4$, $x^4+x^2y^2+y^4=8$. Найдите значение выражения $x^6+x^3y^3+y^6$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. Найдите все трехзначные числа $\overline{xyz}$ для которых выполнено $$x+y+z+x \cdot y+y \cdot z+z \cdot x+x \cdot y \cdot z=\overline{xyz}.$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №8. Существует ли натуральное число $a$ такое, что сумма цифр числа $a^{2022}$ равна 2022?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №9. Число школьников в школе больше 450 но меньше 600. Если делить учеников в группы по 8, то останется один ученик, если по 7, то останется 2 ученика, если по 6, то останется 5. Сколько учеников учатся в этой школе?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №10. Докажите неравенство: $2023 < \frac{2}{1} + \frac{3}{2} + \ldots + \frac{{2023}}{{2022}} + \frac{{2024}}{{2023}} < 2282$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №11. На биссектрисе угла $A$ треугольника $ABC$ ($\angle A = 30^\circ$ , $\angle B = 105^\circ$) отмечена точка $P$ такая, что она лежит внутри треугольника и $PC = BC$. Найдите угол $APC$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №12. Докажите, что в каждом выпуклом десятиугольнике есть пара диагоналей, угол между которыми меньше $6^\circ$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №13. Из шести костяшек домино (см. рис.) сложите прямоугольник $3 \times 4$ так, чтобы во всех трех строчках точек было поровну и во всех четырех столбцах точек было тоже поровну.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №14. Расставьте на шахматной доске трех ферзей и четырех коней так, чтобы они били все клетки доски.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №15. Дана связная фигура, составленная из 101 клетки. Докажите, что эту фигуру можно заключить в прямоугольник с такими сторонами $a$ и $b$, что $a + b = 102$. Фигура, составленная из клеток, называется связной, если любые две ее клетки можно соединить цепочкой ее клеток, в которой любые две соседние клетки имеют общую сторону.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №16. Про положительные числа $x, y, z, t$ известно, что они все больше 1, а также выполняются равенства: $$\frac{x}{z}=\frac{y}{t}=\frac{x y+1}{z t+1}.$$ Докажите, что $x=z$ и $y=t$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)