қазақша
русский19-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2023 год
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. У Пети есть $1001$ карточка, на которых написаны синей ручкой числа $1,2,\dots,1001$; на каждой карточке написано ровно одно число. Петя выложил карточки по кругу синими числами вниз. Затем для каждой карточки $C$ Петя рассмотрел $500$ карточек, следующих за $C$ по часовой стрелке, и нашёл количество $f(C)$ тех из них, на которых синие числа больше, чем синее число на $C$. Число $f(C)$ Петя написал на верхней стороне карточки $C$ красной ручкой. Докажите, что Вася, видя только все красные числа, может восстановить, какое синее число на какой карточке написано.
(
И. Богданов
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Касательная в точке $C$ к окружности $\Omega$, описанной около неравнобедренного треугольника $ABC$, пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Через точку $D$ проведена прямая, пересекающая отрезки $AC$ и $BC$ в точках $K$ и $L$ соответственно. На отрезке $AB$ отметили точки $M$ и $N$ так, что ${AC \parallel NL}$ и ${BC \parallel KM}$. Пусть $NL$ и $KM$ пересеклись в точке $P$, лежащей внутри треугольника $ABC$. Прямая $CP$ во второй раз пересекает окружность $\omega$, описанную около треугольника $MNP$, в точке $Q$. Докажите, что прямая $DQ$ касается $\omega$.
(
М. Кунгожин,
И. Богданов
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №3. Даны натуральные числа $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_k$. Обозначим через $S(n)$ количество решений уравнения $a_1x_1+\dots+a_kx_k=n$ в целых неотрицательных числах $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_k$. Известно, что $S(n)\ne 0$ для всех достаточно больших $n$. Докажите, что $S(n+1)<2S(n)$ для всех достаточно больших $n$.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №4. Сумма $n>2$ ненулевых вещественных чисел (не обязательно различных) равна нулю. Для каждого из $2^n-1$ способов выбрать несколько (не менее одного) из этих чисел подсчитали сумму выбранных чисел и все полученные $2^n-1$ сумм выписали в строку в невозрастающем порядке. Первое число в строке равно $S$. Найдите наименьшее возможное значение второго числа в строке.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №5. Назовём натуральное число хорошим, если оно представляется в виде $ax^2+bxy+cy^2$, где $a$, $b$, $c$, $x$, $y$ -- целые числа и $b^2-4ac=-20$. Докажите, что произведение двух хороших чисел — тоже хорошее число.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(7)
комментарий/решение(7)
Задача №6. На плоскость положили несколько синих и зелёных прямоугольных салфеток (возможно, разного размера) с вертикальными и горизонтальными сторонами. Оказалось, что любые две салфетки разного цвета можно пересечь вертикальной или горизонтальной прямой (возможно, по границе). Докажите, что можно выбрать цвет, две горизонтальных прямых и одну вертикальную прямую так, что каждую салфетку выбранного цвета пересекает хотя бы одна из выбранных прямых.
(
Г. Челноков
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)