қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 11 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функциясы (мұнда $\mathbb{R}$ нақты сандар жиынын белгілейді) кез келген нақты $x$ үшін $f\left( f\left( x \right) \right)={{x}^{\text{2}}}f\left( x \right)-x+\text{1}$ тепе-теңдігін қанағаттандыратын болса, $f(1)$-ді табыңдар.
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Есеп №2. Үшбұрыштың әрбір қабырғасынан сол қабырғаны тең $p$ бөлікке бөлетін $p-1$ нүкте алынған. Бұл нүктелердің әрқайсысы үшбұрыштың қарсы жатқан төбесімен кесінділермен қосылған. Егер $p$-ның жай сан екені белгілі болса, бұл кесінділер, кем дегенде, үшбұрышты қанша бөлікке бөледі?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Өлшемі $2m\times n$ болатын тіктөртбұрыш өлшемі $2\times 1$ болатын $mn$ тіктөртбұрыш плиткалармен толық жабылған. Егер тіктөртбұрышты бос емес екі бөлікке бөлетін және плиткалардың ешқайсысының ішкі нүктелері арқылы өтпейтін түзу табылса, бұл жабуды трансверсальды деп атаймыз.
a) Өлшемі $6\times 6$ болатын тіктөртбұрыштың 18 плиткамен жабуының кез келгені трансверсальды болатынын дәлелдеңдер.
b) Өлшемі $8\times 8$ болатын тіктөртбұрыштың 32 плиткамен трансверсальды емес жабуы табыла ма?
комментарий/решение
a) Өлшемі $6\times 6$ болатын тіктөртбұрыштың 18 плиткамен жабуының кез келгені трансверсальды болатынын дәлелдеңдер.
b) Өлшемі $8\times 8$ болатын тіктөртбұрыштың 32 плиткамен трансверсальды емес жабуы табыла ма?
комментарий/решение
Есеп №4. Егер коэффициенттері нақты сандар болатын ${{a}_{{0}}}{{x}^{n}}+{{a}_{{1}}}{{x}^{n-{1}}}+\ldots +{{a}_{n}}$ көпмүшелігі коэффициенттері нақты сандар болатын сызықтық екімүшеліктердің көбейтіндісіне жіктелсе, мына теңсіздіктің орындалатынын дәлелдеңдер: $\left( n-{1} \right)a_{{1}}^{{2}}\ge {2}n{{a}_{{0}}}{{a}_{{2}}}$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Тікбұрышты емес $ABC$ үшбұрышының бұрыштары $\text{tg}A\cdot \text{tg}B\cdot \text{tg}C=\left[ \text{tg}A \right]+\left[ \text{tg}B \right]+\left[ \text{tg}C \right]$ теңдігін қанағаттандыратын болса, осы үшбұрыштың ең кіші бұрышын табыңдар. Мұнда арқылы $x$ санының бүтін бөлігі, яғни $x$-тан аспайтын ең үлкен бүтін сан белгіленген.
комментарий/решение(10)
комментарий/решение(10)
Есеп №6. Келесі шарттарды қанағаттандыратын $n$ натурал саны және жай ${{p}_{1}},{{p}_{2}},{{p}_{3}},p$ сандары берілген: $n < 11$,${{p}_{1}}+p_{3}^{n}$ --- жай сан, ${{p}_{2}}+{{p}_{3}}=p_{1}^{n}\left( {{p}_{1}}+{{p}_{3}} \right)$, ${{p}_{1}}+{{p}_{2}}=3p$ және ${{p}_{2}} > 9$. Олай болса, ${{p}_{1}}\left( {{p}_{2}}p_{3}^{n}+p_{1}^{{{p}_{1}}}+n \right)$ өрнегінің мәнін табыңдар.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)