қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по математике, 2014 год, 9 класс
Задача №1. В треугольнике $ABC$ точка $I$ — центр вписанной окружности, а $\omega$ — описанная окружность. Прямые $BI$ и $CI$ пересекают ${{\omega }}$ соответственно в точках ${{B}_{1}}$ и ${{C}_{1}}$, а прямая $B_1C_1$ пересекает прямые $AB$ и $AC$ в точках $C_2$ и $B_2$, соответственно.
Пусть ${{\omega }_{1}}$ — описанная окружность треугольника $I{{B}_{1}}{{C}_{1}}$, а прямые $IB_2$ и $IC_2$ пересекают $\omega_1$ в точках $M$ и $N$, соответственно. Докажите, что $B{{C}_{2}}\cdot {{B}_{2}}C={{B}_{2}}M\cdot {{C}_{2}}N$.
(
Шалгымбай Б.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Пусть ${{a}_{1}},~{{a}_{2}},~\ldots,~{{a}_{2014}}$ — перестановка чисел 1, 2, $\ldots$, 2014.
Какое наибольшее количество чисел среди чисел $a_{1}^{2}+{{a}_{2}},$ $a_{2}^{2}+{{a}_{3}},$ $\ldots,$ $a_{2013}^{2}+{{a}_{2014}},$ $a_{2014}^{2}+{{a}_{1}}$
могут быть точными квадратами?
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Докажите, что если $p,~q,~m,~n$ натуральные числа, причем $p$ и $q$ простые, то равенство
$
\left( {{2^p} - {p^2}} \right)\left( {{2^q} - {q^2}} \right) = {p^m}{q^n}
$
невозможно.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №4. Дано целое $n \geq 1$ и положительные действительные числа ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots$, ${{a}_{n}}$.
Пусть $s={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}$. Известно, что для каждого $i = 1,~2,~ \ldots,~n$
выполняется неравенство ${{a}_{i}}^{2}>i{{a}_{i}}+s$. Докажите, что $2s > 3{{n}^{2}}$.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ справедливы следующие соотношения:
$AB=BC$, $AD=BD$ и $\angle ADB = 2 \angle BDC$. Известно, что
$\angle ACD = 100^\circ$. Найдите $\angle ADC$.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №6. Из доски $2^n \times 2^n$ ($n \geq 3$) вырезали одну клетку. Докажите, что оставшуюся часть доски можно покрыть без наложений уголками из 3-х клеток по крайней мере $4^{3 \cdot 4^{n-3}}$ различными способами.
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)