Результаты Европейской математической олимпиады для девушек 2017

С 6 по 12 апреля в г.Цюрих, Швейцария, прошла Европейская математическая олимпиада для девушек 2017. Олимпиада проходила в два тура, в каждом предлагалась три задачи. Такое же формат проведения имеет Международная Математическая Олимпиада.  

Стоит отметить, что если первая олимпиада  в 2012 году собрала 19 стран, то в этом году их количество увеличилось до 44. Например, Международная олимпиада ежегодно собирает чуть больше 100 стран. Это неудивительно, ведь организация была на высшем уровне и задачи были одновременно оригинальными и  красивыми.

В состав нашей команды вошли:

Команда прибыла в Цюрих 6 апреля. 7 апреля с утра у них проходил большой квест по городу. Девушки выполняли различные задания. Но фактически они изучали город.

Открытие началось ровно в 16:00. Традиционно все команды выходили на сцену. Потом состоялся небольшой фуршет.

 8-9 апреля состоялись туры олимпиады, 10 апреля состоялась координация.

По результатам которой, девочки получили следующие результаты:

КодИмя ФамилияКлассШкола123456ΣНаграда
KAZ1Аружан Аманбаева10РФМШ, Алматы77772737 Золото
KAZ2Алуа Шынтай10РФМШ, Алматы72077225 Серебро
KAZ3Ажар Смагулова11НурОрда, Астана70102010 Почетная грамота
KAZ4Аружан Сабырбек9НИШ, Талдыкорган70102111Бронза

 

В неофициальном общекомандном зачете наша команда разделила 8-10 места с командой Великобритании и Польши.

#CountrySizeP1P2P3P4P5P6ΣGSBHM
1United States of America (USA)42828152827221484000
2Ukraine (UKR)42128172821111262200
3Russian Federation (RUS)42115262623141252200
4Hungary (HUN)4281122241741062200
5Serbia (SRB)428246171110961210
6Israel (ISR)422151126140880300
7Romania (ROU)42816113721860310
8Kazakhstan (KAZ)42899141310831111
8Poland (POL)42812167182830400
8United Kingdom (UNK)428127141210831030

 

Очень рады тому, что Казахстан очередной раз доказал, что входит в список сильнейших стран по математике. Ведь не каждой стране удается войти в десятку с первого участия. Например, в прошлом году наша команда в неофициальном командном зачете завоевала первое место на Балканской Математической олимпиаде 2016.

Следующая олимпиада состоится с 9 по 15 апреля 2018 года во городе Флоренции, Италия. А через год в Украине.

Поздравляем команду с успешным выступлением! А юным девушкам математикам желаем хорошо подготовиться к отбору на следующую олимпиаду!

Пользуясь случаем, хотим поблагодарить руководство НАО РФМШ, АОО НИШ, школы “NURORDA”, а также частного спонсора за командирование школьниц  и руководителей на Олимпиаду.

Ниже приводим условия задач на русском языке. 


Задача №1. Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$, в котором $\angle DAB = \angle BCD = 90^\circ$ и $\angle ABC > \angle CDA$. Пусть $Q$ и $R$ — точки пересечения некоторой прямой с отрезками $BC$ и $CD$, соответственно, а $P$ и $S$ — точки пересечения этой прямой с прямыми $AB$ и $AD$, соответственно. Известно, что $PQ = RS$. Обозначим середину отрезка $BD$ через $M$, а середину отрезка $QR$ через $N$. Докажите, что точки $M$, $N$, $A$ и $C$ лежат на одной окружности.

Задача №2. Найдите наименьшее положительное целое число $k$, для которого существуют: раскраска положительных целых чисел $\mathbb{Z}_{ > 0}$ в $k$ цветов и функция $ f\colon\mathbb{Z}_{ > 0} \rightarrow \mathbb{Z}_{ > 0}$, удовлетворяющая следующим двум условиям:
i. Для всех положительных целых чисел $m,n$ одинакового цвета $f(m+n) = f(m) + f(n)$.
ii. Найдутся положительные целые числа $m,n$ такие, что $f(m+n) \neq f(m) +f(n)$.
В раскраске $\mathbb{Z}_{ > 0}$ в $k$ цветов каждое целое число окрашено ровно в один из $k$ цветов. В условиях (i) и (ii) положительные целые числа $m,n$ не обязательно различны.

Задача №3. На плоскости даны $2017$ прямых, никакие три из которых не проходят через одну точку. Улитка Турбо сидит в некоторой точке ровно на одной из прямых и начинает ползти по прямым, следуя правилам: она движется по прямой до тех пор, пока не доползёт до точки пересечения прямых. В точке пересечения она продолжает движение по другой прямой, поворачивая поочерёдно направо или налево, меняя выбор направления поворота в следующей точке пересечения прямых. Она может менять направление движения только в точках пересечения прямых. Могло ли оказаться, что по некоторому отрезку она ползла в обоих направлениях во время своего путешествия?

Задача №4. Пусть $n \geq 1$ — целое число и $t_1 < t_2 < \ldots < t_n$ — положительные целые числа. В группе из $t_n+1$ человек некоторые сыграли между собой в шахматы. Два человека могли сыграть между собой не более одной партии. Докажите, что могло оказаться так, что одновременно будут выполняться два условия:
i. Количество игр, сыгранных каждым человеком — одно из чисел $t_1, t_2, \dots, t_n$.
ii. Для каждого $i$, такого, что $1 \leq i \leq n$, найдётся человек, который сыграл ровно $t_i$ партий.

Задача №5. Пусть $n\geq 2$ — целое число. Упорядоченный набор $(a_1,a_2,\dots,a_n)$ не обязательно различных положительных целых чисел назовём дорогой $n$-кой, если существует положительное целое число $k$ такое, что \[ (a_1+a_2)(a_2+a_3)\cdot \dots \cdot (a_{n-1}+a_n)(a_n+a_1) = 2^{2k-1}.\]
a) Найдите все целые числа $n \geq 2$, для которых существует дорогая $n$-ка.
b) Докажите, что для каждого нечётного положительного целого числа $m$ существует целое число $n\geq 2$ такое, что число $m$ встречается в какой-то дорогой $n$-ке.
В левой части равенства содержится ровно $n$ сомножителей.

Задача №6. Пусть $ABC$ — остроугольный треугольник, в котором все стороны различны. Обозначим точки, симметричные центроиду $G$ и центру $O$ описанной окружности треугольника $ABC$ относительно его сторон $BC,CA, AB$ через $G_1,G_2 ,G_3$ и $O_1 ,O_2 ,O_3$, соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников $G_1G_2C,$ $G_1G_3B,$ $G_2G_3A,$ $O_1O_2C,$ $O_1O_3B,$ $O_2O_3A$ и $ABC$ пересекаются в одной точке.

Комментарий(0)