Республиканская олимпиада по математике, 2011 год, 11 класс

Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, среднее арифметическое и среднее геометрическое делителей которых одновременно являются целыми числами. ( А. Васильев )

Комментарий/решение

Пусть $S$ и $G$ ср ариф и ср геом делителей соотвественно и $A$ то натуральное число.

Пусть $A=p_{1}^{s_{1}} \cdot p_{2}^{s_{2}} \cdot ... \cdot p_{n}^{s_{n}}$ тогда сумма всевозможных делителей есть $(1+p_{1}+...+p_{1}^{s_{1}})(1+p_{2}+...+p_{2}^{s_{2}}) \cdot ... (1+p_{n}+...+p_{n}^{s_{n}}) = \frac{(p_{1}^{s_{1}+1}-1)(p_{2}^{s_{2}+1}-1) \cdot ... (p_{n}^{s_{n}+1}-1)}{(p_{1}-1)(p_{2}-1)...(p_{n}-1)}$ а количество $(s_{1}+1)(s_{2}+1)...(s_{n}+1)$

откуда $S=\frac{(p_{1}^{s_{1}+1}-1)(p_{2}^{s_{2}+1}-1) \cdot ... (p_{n}^{s_{n}+1}-1)}{(p_{1}-1)(p_{2}-1)...(p_{n}-1)(s_{1}+1)(s_{2}+1)...(s_{n}+1)}$

Заметим тогда что среднее арифметическое делителей

$G=((p_{1}^{s_{1}} \cdot p_{2}^{s_{2}} ... p_{n}^{s_{n}})^{\frac{(s_{1}+1)(s_{2}+1)...(s_{n}+1)}{2}})^{\frac{1}{(s_{1}+1)(s_{2}+1)...(s_{n}+1)}} = \sqrt{A}$

Построим пример числа, пусть $A=x^2 \cdot y^2$

Тогда подставляя вышеописанные формулы , получаем $S=\frac{(x^2+x+1)(y^2+y+1)}{9}$ и $G=xy$

Если $x^2+x+1=3z$ то заметим что $x=3a+1$ и $z=3a^2+3a+1$ подходит, аналогично $y=3b+1$ а простых чисел вида $3k+1$ бесконечно много, то есть пара $(3a+1, 3b+1)$ подходит, откуда и следует утверждение.

К примеру при $a=2, b=4$ получается $x=7,y=13$ тогда $A=91^2=8281$ его делители $1,7,13,49,91,169,637,1183,8281$

$S=1159, G=91$

Пусть $n=p^2$, где $p$ простое число вида $3k+1$, а таких $n$ бесконечно много. Тогда его делителями будут $$1,p,p^2.$$ Значит их среднее арифметическое и среднее геометрическое будут

$$ A = \frac{1+p+p^2}{3} = \frac{1+3k+1+9k^2+6k+1}{3} = 3k^2+3k+1 \in \mathbb{Z} $$

$$ G = \sqrt[3]{1\times p \times p^2} = p \in \mathbb{Z} $$