Математикадан республикалық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 10 сынып

Теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышы берілген. Оған іштей сызылған шеңбер $BC,AC,AB$ қабырғаларын сәйкесінше ${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}}$ нүктелерінде жанайды. $A{{A}_{1}}$ кесіндісі іштей сызылған шеңбер мен ${{B}_{1}}{{C}_{1}}$ кесіндісін сәйкесінше $Q$ мен $L$ нүктелерінде қиып өтеді. $M$ нүктесі — ${{B}_{1}}{{C}_{1}}$ кесіндісінің ортасы. $BC$ және ${{B}_{1}}{{C}_{1}}$ түзулері $T$ нүктесінде қиылысады. $P$ нүктесі — $L$-дан $AT$ түзуіне түсірілген перпендикулярдың табаны. ${{A}_{1}},M,Q,P$ нүктелерінің бір түзудің бойында жататынын дәлелде. ( А. Баев )

Комментарий/решение

Пусть $I$ - центр $ω$ вписанной окружности $\triangle ABC$. Легко понять, что точки $A,M,I$ - лежат на одной прямой и $AI\bot B_1C_1$.

Заметим, что $A_1B_1QC_1$ - гармонический, т.к. касательные в точках $B_1$ и $C_1$ и $QA_1$ пересекаются в одной точке. Откуда $TQ$ касается $ω$.

Заметим, что $L$ - лежит на поляре точек $A$ и $T$ относительно $ω$, откуда $AT$ - поляра точки $L$ относительно $ω$, следовательно $IL\bot AT$, откуда $P\in IL$.

Заметим, что точки $A_1,P,M$ лежат на окружности с диаметром $TI$, а так же из того, что $TQ$ касается $ω$, то $Q$ лежит на окружности с диаметром $TI$ откуда следует требуемое.