Республиканская олимпиада по математике, 2011 год, 9 класс

Дано натуральное число $n$. Один из корней квадратного уравнения $x^2-ax+2n=0$ равен $\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+ \ldots+\frac{1}{\sqrt{n}}$. Докажите, что $2\sqrt{2n} \leq a \leq 3\sqrt{n}.$ ( А. Васильев )

Комментарий/решение

Пусть корень равен $S$, выразив корень $x=\dfrac{2n+\sqrt{a^2-8n}}{2}$ также выразив с него $a$ (знак не имеет значения) откуда $a=\dfrac{2n+S^2}{S}$ , подставляя в неравенство и решая как квадратное неравенство относительно $S$ получается $\sqrt{n} \leq S \leq 2 \sqrt{n}$ .

Докажем первое

1) $\sqrt{n} < 1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ по оценке $1+ \dfrac{1}{\sqrt{2}+1}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}} \leq S $ преобразовавывая левую часть $1+(\sqrt{2}-1)+...+(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}) = \sqrt{n} \leq S$

2) вторую по мат индукций, база верна , тогда для $k=n+1$

$S+\dfrac{1}{\sqrt{n+1}} \leq 2 \sqrt{n+1}$ или $S+\dfrac{1}{\sqrt{n+1}} \leq 2 \sqrt{n}+ \dfrac{1}{\sqrt{n+1}} \leq 2\sqrt{n+1}$ откуда $n \geq 0$ .