Математикадан республикалық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 11 сынып

$n$ натурал саны үшін $a^{n-1} \equiv 1 \pmod {n}$ салыстыруы орындалатындай және $n-1$ санының кез келген $p$ жай бөлгіші үшін $a^{(n-1)/p} \not\equiv 1 \pmod{n}$ орындалатындай $a$ натурал саны табылатыны белгілі. Олай болса, $n$ саны жай екенін дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Мне кажется или здесь есть опечатка.

Да, здесь опечатка. В этой задаче на русском и на казахском разные условии(в казахском правильный).

Из условия следует, что $n-1$ показатель числа $a$ по модулю $n.$ Тогда

$$\{a^1,\ldots,a^{n-1}\}=\{1,\ldots,n-1\},$$

но с другой стороны $(a,n)=1,$ то есть числа $1,\ldots,n-1$ взаимно просты с $n,$ тогда $n-$простое.

Малая теорема Ферма и все