Республиканская олимпиада по математике, 2010 год, 10 класс

Последовательность $\{a_n\}_{n\geq1}$ определена следующим образом: $a_1 =\alpha $ и $a_{n+1} = 2a_n^2-1$ для $n\geq 1$. Сколько различных значений может принимать действительное число $\alpha$, если $a_{2010} = 0$? ( Д. Елиусизов )

Комментарий/решение

пусть $a_{2}=2\alpha^2-1=x$ значит $a_{3}=2x^2-1=0, x=\pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ и $2^2$ решений

$a_{4}=0, x=\pm \dfrac{ \sqrt{2 \pm \sqrt{2}}}{2}$ и $2^3$ решений

$a_{5}=0, x=\pm \dfrac{\sqrt{2 \pm \sqrt{2 \pm \sqrt{2}}}}{2}$ и $2^4$ решений

$x= \pm \dfrac{\sqrt{2 \pm \sqrt{ 2 \pm \sqrt{...}}}}{2}$

Докажем что все решения действительные числа , так как $x_{min}=-1$ то достаточно показать минимальный корень а именно $-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}>-2$ что верно, так как возведя постепенно в квадраты и перенеся слагаемые получим в итоге $2>1$, а различность корней следует из расположения знаков $+$ и $-$ , значит для $a_{2010}=2^{2009}$ различных решений.