Республиканская олимпиада по математике, 2010 год, 9 класс

Дано положительное действительное число $A$. Найдите наибольшее возможное значение действительного числа $M$, для которого выполнено неравенство $$\displaylines{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{A}{x+y}\geq\frac{M}{\sqrt{xy}} }$$ для любых положительных действительных чисел $x, y$. ( А. Васильев )

Комментарий/решение

Приведем к общему знаменателю , получим равносильное неравенство $x,y \geq 0$

$x^2+y^2 \geq \sqrt{xy}(20 \cdot M - (2+A) \cdot \sqrt{xy})$

Сделаем замену $x+y=n, \ \ x \cdot y=z$ , получим , квадратное уравнение относительно переменной $n$ , $n^2 - \sqrt{z}*M*n+A*z \geq 0$ .

Чтобы данное неравенство , не имело решений , (так как $n,z \geq 0$) именно это и нас интересует , вынуждено выполнятся условие $M^2 \leq 4A$ , откуда $M \leq 2\sqrt{A}$.

Ответ $M = 2\sqrt{A}$

Как я помню, $M=2\sqrt{A}$ не единственный ответ

возможно

Жауабы: $M_{max} =\left\{\begin{matrix}\frac{A}{2}+2, \text{егер} \ \ 0\le A\le 4\\2\sqrt{A}, \text{егер} \ \ A\ge 4\end{matrix}\right.$

Дәлелдеуі:

$\frac{x+y}{\sqrt{xy}}=t$ болсын, онда $t\ge 2$ болатыны түсінікті. Берілген теңсіздік $t+\frac{A}{t}\ge M$ түріне келтіріледі.

$M$-нің ек үлкен мәнін табу үшін $f(t)=t+\frac{A}{t}$ функциясының $t\in [2,+\infty)$ аралығындағы ең кіші мәнін табу керек. Оны туындының көмегімен де табуға болады. Бірақ туындысыз есептейік.

Егер $0<A\le 4$ болса, онда $t+\frac{A}{t}=\frac{(t-2)(2t-A)}{2t}+\frac{A}{2}+2\ge \frac{A}{2}+2$

Теңдік $t=2$ яғни $x=y$ жағдайында орындалады.

Егер $A\ge 4$ болса, онда $t+\frac{A}{t}=\frac{(t-\sqrt{A})^2}{t}+2\sqrt{A}\ge 2\sqrt{A}$

Теңдік $t=\sqrt{A}$ яғни $x=\frac{y}{2}(A-2 \pm \sqrt{A(A-4)})$ жағдайында орындалады.