Районная олимпиада, 2010-2011 учебный год, 8 класс

Числа $a$, $b$, $c$ таковы, что $\dfrac{a}{b}=2, \dfrac{b}{c}=5$. Найдите значение выражения $\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ac}$.

Комментарий/решение

$\cfrac{a^2+b^2+c^2}{ac}=\cfrac{a}{c}+\cfrac{b^2}{ac}+\cfrac{c}{a}=\cfrac{a}{b} \cdot \cfrac{b}{c} + \cfrac{b}{c} \cdot \cfrac{1}{\cfrac{a}{b}} + \cfrac{1}{\cfrac{a}{b}} \cdot \cfrac{1}{\cfrac{b}{c}}=2 \cdot 5 + 5 \cdot \cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{5}=12\cfrac{3}{5}$

$\text { Жауабы: }12 \frac{3}{5}. $ $ \frac{a}{b}=2 \Rightarrow a=2b, \frac{b}{c}=5 \Rightarrow c=\frac{b}{5}. \text{ Онда } \frac{a^2+b^2+c^2}{ac}=\frac{4b^2+b^2+\frac{b^2}{25}}{2b \cdot \frac{b}{5}}= \frac{126b^2}{25} \cdot \frac{5}{2b^2}=\frac{63}{5}=12 \frac{3}{5}.$

Ответ:$12,6$

Заметим это,$a=2b;b=5c$,значит $a=10c$.Заменим $a^2$ как $100c^2$;$b^2$ как $25с^2$;$ac$ как $10с^2$.Получается $$\dfrac {100c^2+25c^2+c^2}{10c^2}=\dfrac {126c^2}{10c^2}=12,6$$.