Республиканская олимпиада по математике, 2008 год, 9 класс

Дано натуральное число $n\geq 2$. Найдите все действительные решения $\left( {x_1 ,x_2 ,x_3 , \ldots,x_n } \right)$ уравнения $$ \left( {1 - x_1 } \right)^2 + \left( {x_1 - x_2 } \right)^2 + \ldots + \left( {x_{n - 1} - x_n } \right)^2 + x_n ^2 = \frac{1} {{n + 1}}. $$

Комментарий/решение

По неравенству между средним квадратичным и арифметическим $ \sqrt{ \dfrac{(1-x_{1})^2+(x_{1}-x_{2})^2+...+x_{n}^2}{n+1}} \geq \dfrac{|1-x_{1}|+|x_{1}-x_{2}|+...+|x_{n}|}{n+1} \geq \dfrac{1-x_{1}+x_{1}-x_{2}+...+x_{n}}{n+1} = \dfrac{1}{n+1}$ откуда возведя в квадрат получаем неравенство, равенство выполнятся когда $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$

То есть получаем решение $(x_{1},x_{2},...,x_{n}) = (\dfrac{n}{n+1}, \dfrac{n-1}{n+1},....,\dfrac{1}{n+1})$

$Matov$, что-бы выполнялось неравенство о средних, числа $1-x_{1},x_{1}-x_{2},...,x_{n}$ должны быть положительными. Но они не всегда положительны. Да, ты нашёл один из ответов, но не факт что все.

В вышеуказанном решении всё верно, просто опущен довольно очевидный факт, что $|x| \geq x$ для любого вещественного $x$. В развернутой форме неравенства выглядели бы так:

$$\sqrt{ \dfrac{(1-x_{1})^2+(x_{1}-x_{2})^2+...+x_{n}^2}{n+1}} \geq \dfrac{|1-x_{1}|+|x_{1}-x_{2}|+...+|x_{n}|}{n+1} \geq \dfrac{1-x_{1}+x_{1}-x_{2}+...+x_{n}}{n+1} = \dfrac{1}{n+1}$$

Советую вам впредь быть более внимательным и пытаться самому понять решение прежде чем выдвигать такие обвинения.

благодарю.