Республиканская олимпиада по математике, 2008 год, 9 класс


Дано натуральное число $n\geq 2$. Найдите все действительные решения $\left( {x_1 ,x_2 ,x_3 , \ldots,x_n } \right)$ уравнения $$ \left( {1 - x_1 } \right)^2 + \left( {x_1 - x_2 } \right)^2 + \ldots + \left( {x_{n - 1} - x_n } \right)^2 + x_n ^2 = \frac{1} {{n + 1}}. $$
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
2018-10-24 04:07:21.0 #

По неравенству между средним квадратичным и арифметическим $ \sqrt{ \dfrac{(1-x_{1})^2+(x_{1}-x_{2})^2+...+x_{n}^2}{n+1}} \geq \dfrac{1-x_{1}+x_{1}-x_{2}+...+x_{n}}{n+1} = \dfrac{1}{n+1}$ откуда возведя в квадрат получаем неравенство, равенство выполнятся когда $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$

То есть получаем решение $(x_{1},x_{2},...,x_{n}) = (\dfrac{n}{n+1}, \dfrac{n-1}{n+1},....,\dfrac{1}{n+1})$