Республиканская олимпиада по математике, 2008 год, 9 класс

Для положительных действительных чисел $a, b, c$ докажите неравенство $\dfrac{{a^2 - bc}}{{2a^2 + bc}} + \dfrac{{b^2 - ac}}{{2b^2 + ac}} + \dfrac{{c^2 - ab}}{{2c^2 + ab}} \leq 0.$

Комментарий/решение

Приведя под общий знаменатель (знаменатель положителен)

$ (a^2-bc)(2b^2+ac)(2c^2+ab)+(b^2-ac)(2a^2+bc)(2c^2+ab)+(2a^2+bc)(2b^2+ac)(c^2-ab) =-3a^4bc+9a^2b^2c^2-3ab^4c-3abc^4 \leq 0 $ или $a^4bc+ab^4c+abc^4 \geq 3a^2b^2c^2$

По неравенству $AM \geq GM$

$\dfrac{a^4bc+ab^4c+abc^4}{3} \geq \sqrt[3]{a^6b^6c^6} = a^2b^2c^2$

$\textbf{Решение:} $ $$\sum\frac{a^2-bc}{2a^2+bc}=\sum\frac{a^2+\frac{bc}{2}-\frac{bc}{2}-bc}{2a^2+bc}=$$

$$=\frac{3}{2}-\frac {3}{2}\sum \frac{bc}{2a^2+bc}\leq 0\Rightarrow \sum \frac{bc}{2a^2+bc}\geq 1\Rightarrow $$

$$\Rightarrow \sum \frac{(bc)^2}{2a^2bc+b^2c^2}\geq \frac {(ab+ac+bc)^2}{\sum (bc)^2+2\sum(ab)(ac)}=\frac {(ab+ac+bc)^2}{(ab+ac+bc)^2}=1$$