Республиканская олимпиада по математике, 2007 год, 9 класс

Найдите все простые $p$, для которых существует такое натуральное $m$, что справедливо равенство $(p-1)!+1=p^m$.

Комментарий/решение

$Ответ: p=2,3,5.$

Докажем что при $p\geq7$ решений нет. От противного. Тогда $(p-2)!=\dfrac{p^m-1}{p-1}=p^{m-1}+p^{m-2}+...+1 \equiv m (mod (p-1))$.

Так как $p$ нечётна,тогда $p-1=2k$, где $k$ натуральное число и меньше $p-2$. И $(p-2)!$ делится на $p-1$. Тогда $(p-2)!\equiv m \equiv 0 (mod(p-1))$. И $m=k(p-1)$. Тогда $p^m=p^{k(p-1)}\geq p^{p-1}>(p-1)^{p-1}+1>(p-1)!+1$ Противоречие.

Тогда $p<7$. При $p=5$ $m=2$, при $p=3$ $m=1$, при $p=2$ $m=1$.

о я так же решил)

а можно было просто написать тогда на респе типо по теореме луивилля р>5 не имеет решений и просто показать пример для 2 3 5

нет, теорема луивилля не входит в школьную программу

АХХААХА

Но в книге Кунгожина М. Про областную олимпиаду На первых страницах с теоремами упоминается теорема луивилля