Республиканская олимпиада по математике, 2005 год, 11 класс

Решить уравнение $2^{\tfrac{1}{2}-2|x|} = \left| {{\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} x + \frac{1}{2}} \right| + \left| {{\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} x - \frac{1}{2}} \right|$.

Комментарий/решение

Правая часть $y=$

При $-\dfrac{1}{2} \leq tgx \leq \dfrac{1}{2}$ получаем что правая часть $y=1$

При $tgx < -\dfrac{1}{2}$ то $y=-2tgx$ (функция убывает)

При $tgx > \dfrac{1}{2}$ то $y=2tgx$ (функция возрастает)

При $x>0$ левая часть убывает, при $x<0$ возрастает, значит существует только два симметричных решения, проверим для первого случая

$2^{\dfrac{1}{2}-2|x|}=1$

$x=\pm \dfrac{1}{4}$ подходит, значит ответ $x=\pm \dfrac{1}{4}$