Республиканская олимпиада по математике, 2005 год, 10 класс


Найдите все тройки натуральных чисел, удовлетворяющих свойству: произведение любых двух чисел при делении на третье число дает остаток 1.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
2019-03-09 15:27:27.0 #

$Ответ: 2,3,5.$

Пусть данные числа будут $a,b,c$. $ab-1$ делится на $c$, $ac-1$ делится на $b$, $bc-1$ делится на $a$. Тогда $(ab-1)(ac-1)(bc-1)$ делится на $abc$. Но$(ab-1)(ac-1)(bc-1)=abc(abc-a-b-c)+ab+bc+ac-1$ тогда $ab+bc+ac-1$ делится на $abc$. А дальше легко.