Республиканская олимпиада по математике, 2005 год, 10 класс

Найдите все функции $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, где $\mathbb{R}$ — поле вещественных чисел, удовлетворяющие тождеству $f(xy+f(x))=xf(y)+f(x)$ для любых $x,y\in \mathbb{R}$. ( Д. Елиусизов )

Комментарий/решение

$\textbf{Решение:} $ Рассмотрим функцию $g(x)=f(x)-x$.

$$g(g(x)+x(y+1))=g (xy+f(x))=f(xy+f(x))-xy-f(x)=xf(y)+f(x)-xy-f(x)=x(f(y)-y)=xg(y)$$

$$g(g(x)+x(y+1))=xg (y) \qquad \qquad (1) $$

$\textbf{Случай 1.} $ Пусть $g (-1)\ne 0$

Теперь, докажем что из равенства $g(a)=g(b) $ сдедует равенство $a=b $.

$$x=a, y=-1\Rightarrow g(g(a))=ag (-1) $$

$$x=b, y=-1\Rightarrow g (g (b))=bg (-1) $$

При $ g (a)=g (b) $ выполняется равенства $$g (g (a))=g (g (b)) $$

Следовательно из двух уравнений получим

$$g (-1)a=g (-1)b \Rightarrow a=b $$

Теперь подставив

значение $y=1$ в уравнение $(1) $ получим

$$ g (g (1)+y+1)=g (y) \Rightarrow g (1)+y+1=у\Rightarrow g (1)=-1$$

Подставив значение $y=1$ и $x=-g (x) $ в уравнение $(1) $ получим

$$ g (g (-g (x))-2g (x))=-g (x)g (1)=-g(x)\cdot (-1)=g (x) \Rightarrow g (-g (x))-2g (x)=x $$

Легко понять, что $g(x)=Ax$.

$$-A^2x-2Ax=x\Rightarrow x (A+1)^2=0\Rightarrow A=-1$$

$$g(x)=f (x)-x=-x\Rightarrow f (x)=0, \quad \forall x\in \mathbb{R} $$

$\textbf {Случай 2.} $ Пусть $g (-1)=0$. Тогда в уравнение $(1) $ подставим значение $y=-1$ и получим

$$ g (g (x))=0$$

$g (x)-$ линейная функция, график которого проходит через точки $(-1;0) $ и $(0;0) $. То есть, $g (x)=0$. Отсюда $ g (x)=f (x)-x=0 \Rightarrow f (x)=x, \quad \forall x\in \mathbb{R} $

$\textbf{Ответ:} f (x)=0, \quad f (x)=x\quad \forall x\in \mathbb{R} $

Пусть $P(x;y)$ означает это равенство.

$P(x;0)$ $f(f(x)) = xf(0) + f(x), (1)$

Предположим $f(0) \ne 0:$

Если для каких-то действительных $a,b \Rightarrow$ $f(a) = f(b),$ то $\Rightarrow$

$f(f(a)) - f(a) = f(f(b)) - f(b),$ пользуясь $(1)$ $\Rightarrow a = b.$

Следовательно $f - $ иньективна.

$P(0;0)$ $f(f(0)) = f(0) \Rightarrow f(0) = 0,$ противоречие.

То есть $\fbox{f(0) = 0}:$

Тогда $(1)$ имеет вид: $f(f(x)) = f(x) , (2)$

Если $f(x) = 0 , \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow$ подходит под ответ.

Иначе $\exists t\in \mathbb{R} \Rightarrow f(t) \ne 0.$

$P(f(t);-1)$

$f(-f(t) + f(f(t))) = f(t)f(-1) + f(f(t)), $ пользуясь $(2) \Rightarrow$

$f(t)(f(-1) + 1) = 0, \Rightarrow \fbox{f(-1) = -1}.$

Предположим $f(1) = 0:$

$P(x;1)$ $f(x + f(x)) = f(x) , (3)$

$P(x + f(x);-1)$ $f(-x - f(x) + f(x + f(x))) = -x - f(x) + f(x + f(x)), $

пользуясь $(3) \Rightarrow$ $f(-x) = -x, x \Rightarrow -1, \Rightarrow f(1) = 1.$

противоречие, то есть $f(1) \ne 0.$

Для $\forall x \ne 0:$

$P(x; \dfrac{x - f(x)}{x}) $ $f(\dfrac{x - f(x)}{x}) = 0 , (4)$

$P(\dfrac{x - f(x)}{x}; 1) $

$f(\dfrac{x - f(x)}{x} + f(\dfrac{x - f(x)}{x})) = (\dfrac{x - f(x)}{x})f(1) + f(\dfrac{x - f(x)}{x})$

пользуясь $(4)$ получаем $f(x) = x, \forall x \ne 0.$

Так как $f(0) = 0, \Rightarrow f(x) = x, \forall x \in \mathbb{R}$

Ответ:

$1) f(x) = 0, \forall x \in \mathbb{R}$

$2) f(x) = x, \forall x \in \mathbb{R}$