Республиканская олимпиада по математике, 2005 год, 10 класс


Найдите все функции $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, где $\mathbb{R}$ — поле вещественных чисел, удовлетворяющие тождеству $f(xy+f(x))=xf(y)+f(x)$ для любых $x,y\in \mathbb{R}$. ( Д. Елиусизов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
2020-05-20 23:44:06.0 #

$\textbf{Решение:} $ Рассмотрим функцию $g(x)=f(x)-x$.

$$g(g(x)+x(y+1))=g (xy+f(x))=f(xy+f(x))-xy-f(x)=xf(y)+f(x)-xy-f(x)=x(f(y)-y)=xg(y)$$

$$g(g(x)+x(y+1))=xg (y) \qquad \qquad (1) $$

$\textbf{Случай 1.} $ Пусть $g (-1)\ne 0$

Теперь, докажем что из равенства $g(a)=g(b) $ сдедует равенство $a=b $.

$$x=a, y=-1\Rightarrow g(g(a))=ag (-1) $$

$$x=b, y=-1\Rightarrow g (g (b))=bg (-1) $$

При $ g (a)=g (b) $ выполняется равенства $$g (g (a))=g (g (b)) $$

Следовательно из двух уравнений получим

$$g (-1)a=g (-1)b \Rightarrow a=b $$

Теперь подставив

значение $y=1$ в уравнение $(1) $ получим

$$ g (g (1)+y+1)=g (y) \Rightarrow g (1)+y+1=у\Rightarrow g (1)=-1$$

Подставив значение $y=1$ и $x=-g (x) $ в уравнение $(1) $ получим

$$ g (g (-g (x))-2g (x))=-g (x)g (1)=-g(x)\cdot (-1)=g (x) \Rightarrow g (-g (x))-2g (x)=x $$

Легко понять, что $g(x)=Ax$.

$$-A^2x-2Ax=x\Rightarrow x (A+1)^2=0\Rightarrow A=-1$$

$$g(x)=f (x)-x=-x\Rightarrow f (x)=0, \quad \forall x\in \mathbb{R} $$

$\textbf {Случай 2.} $ Пусть $g (-1)=0$. Тогда в уравнение $(1) $ подставим значение $y=-1$ и получим

$$ g (g (x))=0$$

$g (x)-$ линейная функция, график которого проходит через точки $(-1;0) $ и $(0;0) $. То есть, $g (x)=0$. Отсюда $ g (x)=f (x)-x=0 \Rightarrow f (x)=x, \quad \forall x\in \mathbb{R} $

$\textbf{Ответ:} f (x)=0, \quad f (x)=x\quad \forall x\in \mathbb{R} $