Республиканская олимпиада по математике, 2005 год, 9 класс

Пусть $M$ — точка пересечения отрезков $AL$ и $CK$, где точки $K$ и $L$ лежат соответственно на сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ так, что четырехугольники $AKLC$ и $KBLM$ — вписанные. Найдите угол $\angle ABC$, если радиусы окружностей, описанных около указанных четырехугольников, равны.

Комментарий/решение

$ \angle BKM=\alpha$ , тогда $\angle BLM = 180^{\circ}-\alpha$ , откуда $\angle AKC = \angle ALC$ как вписанные , то есть $\alpha = 90^{\circ}$ , получим что $CK;CL$ высоты треугольника $ABC$ , значит $\angle BKL = \angle ACB$ , так как радиус описанных окружностей равны , получим $AL=BL$ , $\angle ABC=45^{\circ}$