Республиканская олимпиада по математике, 2003 год, 10 класс
Для положительных действительных чисел $x, y, z$ докажите неравенство:
$$
\frac{x^3}{x+y}+\frac{y^3}{y+z}+\frac{z^3}{z+x}\geq \frac{xy+yz+zx}{2}.
$$
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Жалпыланған Титу леммасы:
Кез келген оң $(x_{1},x_{2},...,x_{n}) және (y_{1},y_{2},...,y_{n})$ сандары үшін келесі теңсіздік орындалады:
$\frac{x_{1}^{3}}{y_{1}}+\frac{x_{2}^{3}}{y_{2}}+...+\frac{x_{n}^{3}}{y_{n}}\geq \frac{(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})^3}{n(y_{1}+y_{2}+...+y_{n})}.$
ЖТЛ бойынша: $\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\geq \frac{(x+y+z)^3}{3(2(x+y+z))}=\frac{(x+y+z)^2}{6}.$
Енді $\frac{(x+y+z)^2}{6}\geq \frac{xy+yz+zx}{2}$ теңсіздігін дәлелдеу керек.
$\frac{(x+y+z)^2}{6}\geq \frac{xy+yz+zx}{2} \Leftrightarrow (x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+zx).$
Үш квадрат теңсіздігі бойынша:
$(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq0$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.