Республиканская олимпиада по математике, 2003 год, 9 класс
Комментарий/решение:
$ f:《a,b》\rightarrow R-$ выпукла
$$ \quad (x_1,x_2,...x_n)\in 《a,b》, \quad \forall \lambda_j>0, \quad j=1,2,...,n \quad \lambda_1+...+\lambda_n=1$$
$$ \sum_{j=1}^n \lambda_j f(x_j) \geq f(\sum_{j=1}^{n}\lambda_jx_j)$$
$$f(x)=\sqrt{4x-1} \Rightarrow f"(x)<0$$
$$3\left(\frac{1}{3}f(x)+\frac{1}{3}f(y)+\frac{1}{3}f(z) \right) \geq3f\left(\frac{\underbrace{x+y+z}_{1,5}}{3}\right)=$$ $$=3f(0,5)=3\sqrt{4\cdot0,5-1}=3=2+3^{\sqrt{t-2}}\Rightarrow t=2$$
Ответ: $A=\left\{ (x,y,z)\in [0,25,\infty)×[0,25,\infty) × [0,25,\infty) | x+y+z=1,5\right\}, t=2$
$$x+y+z=1,5 \Rightarrow 4x+4y+4z=6 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow (4x-1)+1+(4y-1)+1+(4z-1)+1=6$$
$$a+b\geq 2\sqrt{ab} , (a>0,b>0)$$
$$6\geq 2\sqrt{4x-1}+2\sqrt{4y-1}+2\sqrt{4z-1}\geq 4+2\cdot3^{\sqrt{t-2}}$$
$$6\geq 4+2\cdot3^{\sqrt{t-2}}\Rightarrow 1\geq 3^{\sqrt{t-2}} \Rightarrow \sqrt{t-2}\geq 0 \Rightarrow \sqrt{t-2}=0 \Rightarrow t=2$$
$4x^2 \geq 4x-1, \Rightarrow \sqrt{4x-1} \leq 2x, (4x-1\geq 0)$ тогда
$2+3^{\sqrt{t-2}} \leq \sum \sqrt{4x-1} \leq 2x+2y+2z=2 \cdot 1,5=3,$
$ 3^{\sqrt{t-2}} \leq 3^{0}, \Rightarrow \sqrt{t-2} \leq 0,$ но $\sqrt{t-2} \geq 0, \Rightarrow t-2=0, t=2$. Так как $t=2$, имеем, что $4x^2=4x-1$, $\Rightarrow 2x-1=0, x=y=z=0,5.$
Стоит отметить, что $3>1$, поэтому неравенство $3^{\sqrt{t-2}} \leq 3^{0}, \Rightarrow \sqrt{t-2} \leq 0$ верно
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.