Республиканская олимпиада по математике, 2002 год, 11 класс


На плоскости дан остроугольный треугольник $ABC$. Пусть $A_1$ и $B_1$ — основания высот опущенных из вершин $A$ и $B$ соответственно. Касательные в точках $A_1$ и $B_1$, проведенные к окружности описанной около треугольника $CA_1B_1$ пересекаются в точке $M$. Докажите, что окружности, описанные около треугольников $AMB_1$, $BMA_1$ и $CA_1B_1$имеют общую точку.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
2019-07-02 11:18:04.0 #

Так как $AA_{1}, BB_{1}$ высоты, то они и будут касательными к окружности $CA_{1}B_{1}$, значит $M$ ортоцентр, откуда и следует утверждение задачи.