Республиканская олимпиада по математике, 2002 год, 10 класс

Докажите, что для любых действительных чисел $x_1, x_2,. . . , x_{n}$ справедливо неравенство: $$ \displaylines{\frac{x_1}{1+{x_1}^{2}}+\frac{x_2}{1+{x_1}^{2} +{x_2}^{2}}+. . . +\frac{x_n}{1+{x_1}^2+. . . {x_n}^2} < \sqrt n.} $$

Комментарий/решение

КБШ теңсіздігі бойынша:

$a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\leq \sqrt{\underset{n}{\underbrace{1+1+...+1}}}\cdot \sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}}=\sqrt{n}\cdot \sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}}.$

$a_{k}=\frac{x_{k}}{1+x_{1}^{2}+...+x_{k}^{2}}$, $k=1,2,...,n$ деп аламыз, сонда теңсіздік:

$\frac{x_{1}}{1+x_{1}^{2}}+\frac{x_{2}}{1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}+...+\frac{x_{n}}{1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}}\leq \sqrt{n}\cdot \sqrt{\left (\frac{x_{1}}{1+x_{1}^{2}} \right )^2+...+\left (\frac{x_{n}}{1+x_{1}^{2}+...+x_{n}^{2}} \right )^2}$

Енді $\sqrt{n}\cdot \sqrt{\left (\frac{x_{1}}{1+x_{1}^{2}} \right )^2+...+\left (\frac{x_{n}}{1+x_{1}^{2}+...+x_{n}^{2}} \right )^2}<\sqrt{n}$,

$\left (\frac{x_{1}}{1+x_{1}^{2}} \right )^2+...+\left (\frac{x_{n}}{1+x_{1}^{2}+...+x_{n}^{2}} \right )^2< 1$ теңсіздігін дәлелдеу керек.

$\left (\frac{x_{k}}{1+x_{1}^{2}+...+x_{k}^{2}} \right )^2=\frac{x_{k}^{2}}{(1+x_{1}^{2}+...+x_{k}^{2})^2}\leq \frac{x_{k}^{2}}{(1+x_{1}^{2}+...+x_{k-1}^{2})(1+x_{1}^{2}+...+x_{k}^{2})}=\frac{1}{1+x_{1}^{2}+...+x_{k-1}^{2}}-\frac{1}{1+x_{1}^{2}+...+x_{k}^{2}}.$

$\left ( \frac{1}{1+x_{1}^{2}} \right )^2\leq 1-\frac{1}{1+x_{1}^{2}}.$

Осы теңсіздіктерді қоссақ: $1-\frac{1}{1+x_{1}^{2}}+\frac{1}{1+x_{1}^{2}}-\frac{1}{1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}+\frac{1}{1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}-...+\frac{1}{1+x_{1}^{2}+...+x_{n-1}^{2}}-\frac{1}{1+x_{1}^{2}+...+x_{n}^{2}}=1-\frac{1}{1+x_{1}^{2}+...+x_{n}^{2}}$

$\sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{1}{1+x_{1}^{2}+...+x_{n}^{2}} \right )^2\leq 1-\frac{1}{1+x_{1}^{2}+...+x_{n}^{2}}< 1.$