Республиканская олимпиада по математике, 2002 год, 9 класс

Пусть $n\geq 2$ — целое и $$ E={x_1}^2+{x_2}^2+\ldots+{x_n}^2-x_1x_2-x_2x_3- \ldots-x_{n-1}x_n-x_nx_1. $$ Найдите максимальное значение $E$ при $x_1$, $x_2, \dots, x_{n} \in [0,1]$ и определите когда достигается этот максимум.

Комментарий/решение

$$x_{2n+1}=sin^2x\in [0,1]$$

$$ x_{2n}=cos^2x\in[0,1] $$

Если $n=2k $

$$ E=(sin^2x+cos^2x+....+cos^2x)-nsin^2xcos^2x=\frac {n}{2}- \frac {n}{4}sin^22x=\frac {n}{2}$$

Если $n=2k+1$

$$ E=(sin^2x+cos^2x+....+cos^2x)+sin^2x-\frac {n+1}{4}sin^22x=\frac{n}{2}+1$$

$$ max [{{E}}]=max[{ {\frac {n}{2}; \frac {n}{2}+1}}]=\frac {n}{2}+1(n=2k+1)$$

$$ max [E]=\frac {n}{2}(n=2k) $$

Не всегда найдутся такие $x$, что $x_{2n+1}=\cos ^2x,x_{2n}=\sin^2x$. Можете предложить другое решение. Неправильные решения позже будут удалятся модераторам.

$E={x_1}^2+{x_2}^2+\ldots+{x_n}^2-x_1x_2-x_2x_3- \ldots-x_{n-1}x_n-x_nx_1.$

$2E=2{x_1}^2+2{x_2}^2+\ldots+2{x_n}^2-2x_1x_2-2x_2x_3- \ldots-2x_{n-1}x_n-2x_nx_1.$

$2E=(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+\ldots+(x_{n-1}-x_n)^2+(x_n-x_1)^2$

$E=\cfrac{(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+\ldots+(x_{n-1}-x_n)^2+(x_n-x_1)^2}{2}$

$x_{i}-x_{j} \leqslant 1$

$E \leqslant \cfrac{n}{2}$

Для $n \in$ нечет $E$ не может быть равен $\dfrac{n}{2}$, всегда будет меньше. Пример для $n \in$ чет: $x_1=1, x_2=0, x_3=1,... x_n=0$

При $n$ чётном максимум $E=n/2$(как показал $sea$). Теперь рассмотрим $n=2k+1$. Так как выражение $E$ цикличное относительно $(x_{1},...,x_{n})$, то можно считать что $max(x_{i})=x_{2k+1}$. То $$E=\dfrac{(x_{1}-x_{2})^2+...+(x_{2k}-x_{2k+1})^2 +(x_{2k+1}-x_{1})^2}{2}$$ $$=\dfrac{(x_{1}-x_{2})^2+...+(x_{2k}-x_{1})^2+2(x_{2k}-x_{2k+1})(x_{2k+1}-x_{1})}{2}$$

$ \leq \dfrac{2k+0}{2}=k$

Последние неравенство очевидное так как $2(x_{2k}-x_{2k+1})(x_{2k+1}-x_{1}) \leq 0$. Значит при $n=2k+1$ максимум $E=\dfrac{n-1}{2}$, пример: $x_{2i}=0,x_{2i-1}=1$, при $i=1,2,...,k$.