Республиканская олимпиада по математике, 2001 год, 11 класс

Найдите всевозможные пары вещественных чисел $(x,y)$, удовлетворяющих равенствам $y^2-[x]^2=2001$ и $x^2+[y]^2=2001$.

Комментарий/решение

$\textbf{Решение:} $ Пусть $ x=a+\alpha , y=b+\beta, \quad 0\leq \alpha, \beta <1$.

$$A=b^2+2b\beta+\beta^2-a^2=2001$$

$$B=a^2+2\alpha a+\alpha^2+b^2=2001$$

$$ b^2-a^2\leq A=2001<(b+1)^2-a^2$$

$$b^2+a^2\leq B=2001 <(a+1)^2+b^2$$

$$b^2=\frac{b^2-a^2+b^2+a^2}{2}\leq \frac{A+B}{2}=2001\Rightarrow b\leq 44$$

$$B=2001 <(a+1)^2+b^2\leq (a+1)^2+44^2\Rightarrow 81<(a+1)^2\Rightarrow a>8 \Rightarrow a\geq 9$$

$$2001-10^2\leq 2001-a^2 <(b+1)^2\Rightarrow b\geq 43$$

$$a^2\leq 2001-b^2\leq 2001-43^2=152 \Rightarrow a\leq 12$$

$$b\in[43;44], \qquad a\in [9;12] $$

$\textbf{Случай 1.} $

$$b=43\Rightarrow x^2=2001-[y]^2=2001-b^2=2001-43^2=154\Rightarrow x=\pm\sqrt{154}$$

$$y^2=2001+[x]^2=2145\Rightarrow y=\pm\sqrt{2145}=b+\beta \geq 46 \Rightarrow b\geq 45$$ Противоречие.

$\textbf{Случай 2.}$

$$b=44\Rightarrow x^2=2001-[y]^2=2001-b^2=2001-44^2=65\Rightarrow x=\pm\sqrt{65}$$

$$y^2=2001+[x]^2=2065\Rightarrow y=\pm\sqrt{2065}=b+\beta \geq 44 \Rightarrow b=44, \quad $$