Математикадан республикалық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 11 сынып

${{2}^{n}}+{{3}^{n}}$ саны $n$-ге бөлінетіндей шексіз көп натурал $n$ сандар табылатынын дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Допустим, что таких натуральных $n$ конечное число. Пусть $n$ - наибольшее из таких чисел. У нас выходит, что $2^n+3^n=nk=N$. Не трудно доказать, что $k>1$. И так как $N=2^n+3^n|2^{nk}+3^{nk}=2^N+3^N$ и $N>n$ - выходит противоречие, так как $n$ - наибольшее такое число.

Если взять n=5^k, то по теореме LTE можно доказать что этот ответ удовлетворяет решению.(k-натуральное число)