Республиканская олимпиада по математике, 2001 год, 10 класс

Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел $n$ таких, что $2^n+3^n$ делится на $n$.

Комментарий/решение

Рассмотрим $n=5^k$. По $LTE$:

$v_{5}(2^n+3^n)= v_{5}(2+3)+ v_{5}(5^k)=k+1$, это означает что $2^n+3^n$ делится на $n$. Очевидно что таких $n$ бесконечно.

Оказывается, уже такое решение есть в 11 классе этого года. Прошу прощения, я не знал что есть.

Докажем по индукции, что $n=5^k$ удоволетворяет условию.

При $k=1$, $2^5 + 3^5$ делится на 5.

Пусть, при $k=m$ условие выполняется, и докажем для $k=m+1$.

При $k=m$:

$2^{5^m} +3^{5^m} \equiv 0\ (mod 5^m)$. Тогда $$2^{5^m}=5^m×l-3^{5^m}$$, для какого то натурального l.

Тогда $2^{5^{m+1}} + 3^{5^{m+1}}=(5^m×l-3^{5^m})^5 +3^{5^{m+1}}$.

Откроем скобку при помощи бинома Ньютона:

$(5^m×l-3^{5^m})^5 +3^{5^{m+1}}$= $5^{5m}×l-5×5^{4m}×l^4×3^{5^m}+10×5^{3m}×l^3×3^{5^m×2}-10×5^{2m}×l^2×3^{5^m×3}+5×5^m×l×3^{5^m×4}-3^{5^{m+1}}+3^{5^{m+1}}.$

А это число делится на $5^{m+1}$.

Переход доказан.