Республиканская олимпиада по математике, 2001 год, 9 класс

Даны две окружности, которые имеют хотя бы одну общую точку. Точка $M$ называется \emph{особой}, если две различные прямые $l$ и $m$, проходящие через $M$ и образующие при пересечении прямой $l$ с первой окружностью точки $A$ и $B$, а при пересечении прямой $m$ со второй окружностью точки $C$ и $D$ такие, что получаемые четыре точки лежат на одной окружности. Найдите геометрическое место всех особых точек.

Комментарий/решение

Админ, "$\emph{особой}$", исправьте опечатку

Вряд ли, он в ближайшие время это исправит

да и впринципе особой значимости я в этом не вижу :p

Ну в этой не значит, но например респа 2007-2008 9класс 3задача там задача не полное, а без неё невозможно решить задачу, уже 2года не исправляют.

Пусть $E,F$ точки пересечения этих окружностей (в случае касания аналогично), тогда по условию $MA \cdot MB = MC \cdot MD$ но с другой стороны $MA \cdot MB = ME \cdot MF = MC \cdot MD$ то есть степень точки $M$ относительно обеих окружностей равны, значит $M$ лежит на радикальной оси этих окружностей.