Республиканская олимпиада по математике, 2000 год, 11 класс

Найдите все тройки натуральных чисел $(x, y, z)$, удовлетворяющие условию $(x+1)^{y+1}+1=(x+2)^{z+1}.$

Комментарий/решение

Подсказка

Лемма:

$a^n-1$ имеет простой делитель, не делящий $a-1$

при $a>3$ и $n>2$

Есть более общий вид.

Лемма:

Пусть $a,b$ целые и $n$ натуральное число. Тогда $a^n-b^n$ имеет простой делитель ,который не делит $a-b$, кроме $a=2$ $b=-1$ $n=3$.

Есть ещё больший общий вид: теорема Зигмонди

Еще больший вид теорема австро-венгерского Математика Карла Зигмонди