Республиканская олимпиада по математике, 2000 год, 11 класс

Дана окружность с центром в точке $O$ и две точки $A$ и $B$, лежащие на ней. $A$ и $B$ не образуют диаметр. На окружности выбрана точка $C$ так, что прямая $AC$ делит отрезок $OB$ пополам. Пусть прямые $AB$ и $OC$ пересекаются в точке $D$, а прямые $BC$ и $AO$ — в точке $F$. Доказать, что $AF=CD$.

Комментарий/решение

$R$ - радиус окружности $\omega$ , и $H \in AO \cap \omega$ , $ E \in AC \cap BO$ , докажем что $DF || BO$ или то что справедливо соотношение $\dfrac{AO}{AF} = \dfrac{AB}{AD}$ или $\dfrac{R+HF}{R} = \dfrac{BD}{AB}$ по теореме Менелая для секущей $DO$ выполняется

$$\dfrac{R}{R+HF} \cdot \dfrac{CF}{BC} \cdot \dfrac{BD}{AD} = 1 $$ но по той же теореме для секущей $AC$ (учитывая что $BE=OE$) выполняется $$\dfrac{CF}{BC} = \dfrac{2R+HF}{R}$$ подставляя в верхнее соотношение $\dfrac{R+HF}{R}=\dfrac{BD}{AB}$ .

Значит $CF=DF$ так как $OB=OC$ радиусы , откуда $\dfrac{DF}{AF} = \dfrac{BO}{AO}=1$ значит $AF=DF=CD$ .