Республиканская олимпиада по математике, 2000 год, 9 класс

Пусть $a$, $b$ и $c$ положительные действительные числа, удовлетворяющие равенству $a^2+b^2+c^2=1$. Докажите неравенство $$ a+b+c+\frac{1}{abc}\geq 4\sqrt3. $$

Комментарий/решение

Так как $1=a^2+b^2+c^2$$\geq $$3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$. Тогда $1/3\sqrt{3}$$\geq$$abc$. Если использовать это и неравенство о средних: $a+b+c+9•\dfrac{1}{9abc}$$\geq$$12$•$\sqrt[12]{\dfrac{abc}{9^9•(abc)^9}}$$\geq$$12•\sqrt[12]{\dfrac{1}{9^9•(3\sqrt{3})^{-8}}}$$=$$12•\sqrt[12]{3^{-6}}$$=$$12•\dfrac{1}{\sqrt{3}}$$=$$4\sqrt{3}$ .Равенство при $a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.

bruh, флешбеки с респы 2021