Республиканская олимпиада по математике, 1999 год, 10 класс

Один квадрат получен поворотом второго квадрата относительно его центра на угол $\alpha $ $(\alpha \leq \pi/4)$. При каком значении $\alpha$, периметр восьмиугольника, общей части двух квадратов, имеет минимальное значение.

Комментарий/решение

Из-за симметричности точек пересечения квадрата относительно центра, следует что полученный восьмиугольник правильный пусть $ABCD, A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ нужные квадраты, пусть $K \in A_{1}D_{1} \cap CD , \ E \in A_{1}D_{1} \cap AD $ тогда $DEK = \alpha , \ DK = D_{1}K, \ ED = EA_{1}$ тогда одна стороны восьмиугольника $EK=AD-DE-DK=\sqrt{DE^2+DK^2}$ выражая $DK=\dfrac{AD \cdot \sin \alpha }{1+ \sin \alpha + cos \alpha }, \ DE = \dfrac{ AD \cdot cos \alpha }{1+sin \alpha + cos \alpha}$ значит $EK = \dfrac{AD}{1+\sqrt{2} \cdot \sin (\alpha + \dfrac{\pi }{4}) }$ откуда при $a=\dfrac{\pi}{4}$ периметр $P=8EK$ достигает минимальное значение равное $\dfrac{8AD}{1+\sqrt{2}}$.

Ответ $\alpha = \dfrac{\pi}{4}$.